O Planeta dos Macacos Economistas

Segundo o Teorema dos Infinitos Macacos:

The infinite monkey theorem states that a monkey hitting keys at random on a typewriter keyboard for an infinite amount of time will almost surely type a given text, such as the complete works of William Shakespeare. In fact the monkey would almost surely type every possible finite text an infinite number of times. However, the probability that monkeys filling the observable universe would type a complete work such as Shakespeare’s Hamlet is so tiny that the chance of it occurring during a period of time hundreds of thousands of orders of magnitude longer than the age of the universe is extremely low (but technically not zero).

Pois bem. No mesmo verbete, uma prova direta é obtida supondo-se que um macaco use um teclado de 50 teclas. A probabilidade dele teclar uma letra aleatoriamente é de 1/50 e, portanto, teclar banana (que são seis tecladas) é igual a (1/50)*(1/50)*(1/50)*(1/50)*(1/50)*(1/50).

O verbete, então, mostra-nos que a probabilidade de um macaco não teclar banana é dada por (1 – (1/50)^6). Assim:

In this case Xn = (1 − (1/50)6)n where Xn represents the probability that none of the first monkeys types banana correctly on their first try.

Pois bem. Fica fácil ver que a probabilidade dos n macacos não teclarem algo como banana demora a cair.

Contudo, o que acontece se o macaco infinito (ou os infinitos macacos) resolver teclar uma palavra ligeiramente menor como preço? A fórmula se altera para: Xn = (1 − (1/50)5)n, que é apenas ligeiramente diferente do que a anterior, certo?

O que acontece, neste caso?

macacos2

Repare que a queda na probabilidade de não se digitar preço é bem mais rápida do que no caso de se digitar banana. A intuição poderia nos dizer que os gráficos não deveriam ser tão distintos, mas não é o que encontramos.

Sim, a pergunta que você deve estar se fazendo é: e se os macacos tiverem que digitar “oferta e demanda”? Neste caso, com os espaços, são 16 caracteres a serem digitados. O gráfico?

Rplot

Claro, o exercício, no fundo, mostra apenas que é mais provável que um macaco digite agrupamentos de letras (e espaços, símbolos, etc) menores do que maiores. Mas não deixa de ser divertido pensar que macacos terão mais facilidade em escrever preço do que um pedido de banana. ^_^

p.s. Implementei isso no R, mas é possível fazer algo em planilhas eletrônicas como Excel ou LibreOffice. Neste caso, aliás, fica clara a vantagem de se usar o R.

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