Relembrando os bancos escolares: a equação da dinâmica da dívida

Dizia o prof. Pastore em Nov/2012:

A equação de dinâmica da dívida nos ensina que, para estabilizar a dívida líquida em relação ao PIB, tem de ser gerado um superávit primário dado pelo produto da relação dívida/PIB pela diferença entre a taxa real de juros e a taxa de crescimento econômico. 

Como é? Isso mesmo. A “equação de dinâmica da dívida” não é um amontoado de palavras soltas não, mané! Vamos pensar na restrição orçamentária do governo:

G + iB ≡ T + dB

G = gastos do governo
iB = juros pagos pelo governo
T = receita de arrecadação
dB = novas emissões de títulos.

Pois é. Esta restrição pode ser reescrita como:

dB ≡ (G – T) + iB

Ou seja, a variação da dívida é a soma do déficit primário e da dívida atual. Agora, vamos reescalonar a dívida em função do PIB nominal que nada mais é do que o PIB real (y) multiplicado pelo nível geral de preços (y = Y/P, logo, yP = Y…sem usar a calculadora, heim? ^_^).

UPDATE: eu havia escrito incorretamente algo aqui, nestas próximas três linhas. O Maurício Y. Une me alertou e eis a correção. O novo texto está em itálico.

Agora, veja: B/Py ≡ b, certo?

Vamos reescrever a restrição do governo, escalonando-a por Py

dB/Py ≡ (G – T)/Py + iB/Py

Para simplificar, vou chamar (G – T)/Py de “d”. Voltaremos a isto mais adiante. Vamos então dar uma olhadinha na definição de b ≡ B/Py. Podemos usar uma aproximação simples de Cálculo para dizer que:

dB ≈ Pydb + bydP + bPdy

Dividindo a turma toda por Py:

dB/Py ≈ Pydb/Py + bydP/Py + bPdy/Py

dB/Py ≈ db + bπ + bg

no qual π é a taxa de inflação (dP/P) e g é a taxa de crescimento do produto (dy/y).

Bom, ainda está ruim de se ler. Vamos usar a equação de Fisher, aquela aproximação que nos diz que r = i – π (na verdade, diz-nos que r ≈ i – π, mas vamos simplificar). Desta forma, obtemos, finalmente (*):

db = d + (i – π – g)b = d + (r – g)b

O prof. Pastore, caso você tenha se perdido após estas contas, dizia que, repetindo parcialmente o que eu citei:

…para estabilizar a dívida líquida em relação ao PIB, tem de ser gerado um superávit primário dado pelo produto da relação dívida/PIB pela diferença entre a taxa real de juros e a taxa de crescimento econômico.

Ficou fácil agora, não? Veja a fórmula:

db = d + (r – g)b

Olha aí a equação. Temos o déficit primário “d” (cujo sinal negativo, obviamente, dá-nos o superávit primário) somado ao produto da relação dívida PIB (b) pela diferença entre r e g. Note que a equação citada por Pastore não cai do céu, mas vem dos livros de Macroeconomia. Mais ainda, vêm de uma questão meramente contábil (a restrição orçamentária do governo) trabalhada com o mínimo (mesmo) de Cálculo e com o uso da equação de Fisher.

Vejamos o restante da citação do texto do prof. Pastore:

Admitindo que a taxa de inflação se mantenha (como tem ocorrido) em 5,5% ao ano, a taxa real de juros sobre a dívida líquida está, atualmente, em 10% ao ano (15,6% da taxa nominal sobre a dívida líquida menos 5,5% da inflação). Admitindo (com otimismo) um crescimento econômico de 4% ao ano, e uma dívida líquida de 35% do PIB, o superávit primário que atualmente estabiliza a relação dívida/PIB é de 2,1% do PIB. É um superávit primário menor do que a “meta” de 3,1% do PIB, mas ainda assim muito maior do que é apontado por exercícios nos quais é ignorado o efeito gerado pela acumulação de ativos e pelo diferencial entre as taxas de juros sobre a dívida bruta e sobre os ativos.

Viu só? Dada a nossa db = d + (r – g)b, com π = 0.055, r = 0.1 (calculada por i = 0.156 menos a taxa de inflação, o que dá r = 0.101, que ele arredondou), com g = 0.04 e b = 0.35, para um db = 0 (dívida estável):

0 = d + (0.1 – 0.04)0.35 → d = -0.021 (-2.1% de déficit do PIB ou, o que dá na mesma, 2.1% de superávit do PIB).

Exercício simples, não? Você só precisava saber como obter a equação da dinâmica da dívida. Eu usei a exposição didática de Carlin & Soskice Macroeconomics – Imperfections, Institutions & Policies, Oxford University Press, 2006, cap.6, mas foi só porque não procurei calmamente em outros manuais e o meu café acabou.

Não é, portanto, uma questão de ser pterodoxo, atleticano ou transgênico. É uma questão matemática. Qualquer aluno de Ciências Econômicas poderia ter feito esta conta. Eu diria que qualquer um do Nepom poderia, perfeitamente, fazê-la. Basta saber um pouco de Macroeconomia, no que diz respeito à dinâmica da dívida pública.

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“Morrer como economista pode ser mais difícil do que viver de arte, mas é mais gratificante, Tanaka-san!”

(*) Para esclarecer as contas mais um pouco:

dB/Py ≡ (G – T)/Py + iB/Py ou seja: dB/Py ≡ d + iB/Py. Mas encontramos que: dB/Py ≈ db + bπ + bg. Assim, supondo a igualdade em ambos: d + ib = db + bπ + bg. Isolando db:

db = d + ib – bπ – bg = d + (i – π – g)b que é, via Fisher, db = d + (r – g)b.

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