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O que você faria se descobrisse que sua matriz é idempotente?

Adivinhe onde está a matriz idempotente…(fonte: página de meu monitor de Econometria, o Fernando).

Isto tudo porque o Pedro, meu monitor de micro, apareceu hoje com uma pergunta do livro do Maddala. Algo como: Se A e B são matrizes simétricas, AB=BA apenas se A e B são comutativas.

Fazia anos que eu não abria um livro de Álgebra Linear. Mas lá fui eu procurar o que era “comutativa”. Minha professora do maternal deve ter me ensinado um dia sobre esta propriedade na unidimensionalidade da reta real. Quem diria: a adição é comutativa pois a + b = b + a. Eu nem me lembrava. Como diz o Cristiano Costa: “o único hiato que me lembro é o hiato do produto”. O mesmo para a comutatividade. Assim, a definição é: A e B são comutativas se AB = BA.

Com a definição em mente, fui eu lá tentar fazer uma prova da proposição.

Pois bem, em matrizes, AB não é geralmente igual a BA. Por outro lado, se A e B são simétricas, A = A’ e B = B’. Tomando a definição de comutatividade, AB = BA, apliquei algumas propriedades.

1) Do lado esquerdo de AB = BA, este, AB, é resultado de (B’A’)’ = AB.

2) Do lado direito de AB = BA, este, BA, é o resultado de (A’B’)’ = BA.

3) Logo, (B’A’)’ = (A’B’)’. Mas se A e B são simétricas, o lado direito pode ser reescrito como (AB)’. Então, (B’A’)’ = (AB)’. Isto nos dá (B’A’)’ = BA. Aplicando a propriedade no lado esquerdo, AB = BA.

Mais ou menos assim…

p.s. e a pergunta do título, heim? ^_^

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